洞穴之喻，看见四维

从低维度看高维度是什么样子？

柏拉图曾作过一个著名的“洞穴之喻”：有一群囚徒生活在洞穴里，他们的手脚被锁链束缚，只能背朝洞口，面向墙壁，也不能转头。在这群人身后（也就是洞口的方向），点着一堆火。在火和囚徒之间筑着一堵矮墙，墙和火堆之间有一条小道，另外一些人扛着各种器具在小道上来回走动，火光则将高出墙的器具投影到囚徒面前的洞壁上。囚徒看到的只是洞穴墙壁上的投影，囚徒以为影子是唯一真实的事物。

这群囚徒无疑是可悲的，因为他们看到的世界只是二维平面。的确，从低维空间想象高维空间非常困难。而人生活在三维空间中，该如何在这个限定下想象四维空间呢？

图1-4所示是正方体在地面上的投影情况。三维正方体有6个面、 8个顶点、 12条棱，它们在平面投影中也都能得到体现，只不过不够逼真，被挤压在同一个平面中了。

按照这样的思路，四维超正方体在三维空间中也可以获得一个“投影”。如图1-5所示，这个“投影”有24个面、 16个顶点、 32条棱。

那么，它在四维空间中到底是什么样子的呢？这的确超出了人的空间感知能力。

但是，感知四维空间是否绝无可能？倒也未必。我们依然可以从简单的例子说起。

比如，从二维如何感知三维？但凡看过CT片的人都知道， CT片是二维平面的，但它是分别从两个不同的角度拍摄（正面和侧面），然后在CT片上用横、竖两组照片来还原的一，因此和单照片相比，它能更好地还原三维立体的景象。

比如， 3D打印是如何实现的？每次用相应材质打印出来的仍是一个平面，平面和平面逐层堆积，就能按3D图纸制成实用的物件，小至手机壳、玩具，大到房屋、飞机等。

因此，我们可以利用四维世界在三维世界中的投影，再增加一个时间维度来弥补，让图片“动”起来！图1-6是四维超正方体的“动态”组图（当然，这里只能呈现为一组图片，它们连续播放的效果，就是四维超正方体的一种可能景象）。

为方便观察，上面这组图片中的某一条棱上被打上了“☆”标记，请参考它的位置变化来想象：超正方体最中间的那个小正方体逐渐向画面右边鼓出来，再逐渐向外伸展，然后向着左后方把其余部分吞进去、包裹起来，最后看似又回到最初的模样，不过此时最里面的已到了最外面、最外面的到了最里面。这传递出一个理念：超正方体是无边界的（关于四维的景象，后面还会有专门章节介绍）。

由于四维空间超出了人对空间的感知能力，所以想象起来的确有一定的困难。两千多年前，老子在《道德经》中说到“道”的至高至极境界时，提到了“大方无隅”（宏大的方正形象似乎没有一定的棱角）和“大象无形”（宏大的气势景象似乎没有一定之形），是不是有点像图1-6的文字注解？

颇为巧合的是，古印度在二三世纪成书的《涅槃经》中记录了著名的“盲人摸象”故事，这能让我们获得一些新的启发。盲人，如果只摸一个局部，就只能声称大象是墙、蒲扇或绳子，可是如果有位盲人足够认真，把大象从头到脚仔细摸一遍，也能大体还原出常人看到的大象模样。

这种新的“盲人摸象”方法或许是可行的──如果您读过海伦·凯勒的《假如给我三天光明》，一定会感叹一个既无听觉又无视觉的人，对世界的描述竟如此逼真！

所以，从低维世界看高维世界，存在难度，但并非绝无可能！只是需要我们有足够的耐心。

下面继续汽车牌照指标的话题。与北京初始时的摇号政策不同，上海采取拍号政策（价高者得），广州则最早采取有偿竞拍和无偿摇号相结合的分配模式。根据前文所讲维度越多越“逼真”的原理，显然广州的做法更周到一些，因为它使用了两个不同维度，兼顾了效率与公平。因而在2014年开始限制机动车牌照的天津和杭州都效仿了广州模式。从理论上说，北京的不等概率抽样也可以为上海、广州等城市提供借鉴；北京在将来引入有偿竞拍方法作为补充，也未尝不可。或者，把有偿竞拍和摇号结合起来，有刚性需求、急需用车的申请者，如果愿意适当加价，可以在阶梯式的摇号池（比如1万、 2万、 3万等）进行不等概率抽样。当然，把久抽不中的中签率和价格竞争的中签率结合起来就更人性化了。

那么，是否有引入价格竞争的必要？在什么时候引入比较合适呢？这里还存在着“时间”问题。