笛卡尔对“证明”和“推理”的运用
众所周知，笛卡尔宣称他的物理学由明晰的数学证明构成。比如，《哲学原理》第二卷最后的论文（他在其中讨论了自然的基本法则）中包含了笛卡尔对物理学的发展的描述：“我认为……关于它们的（分类、形状以及粒子的运动）没有什么是正确的，因此不能从那些普通的概念、那些我们怀疑的真理中明显地推出什么，它可以被看作一个数学上的证明。”（AT VIII，1，79）
《哲学原理》（法文版）的最后一页提醒读者他的确完成了他所计划的：“我认为人们也应该意识到我已经通过数学证明法证明了我写的所有东西，至少是很普通的问题。”
如果人们用目前对数学证明的理解去理解像这样的文本，那么就很难理解笛卡尔所讨论的。因为在引用中插入的两卷《哲学原理》只是一连串的假定、猜测、尝试性发现、对自然现象的模拟和分析以及对解释的描述，等等；简而言之，就是除了数学证明外的一切。对于这种反常的现象，大家认为最好的解释是笛卡尔将物理学分解为数学的无意义尝试，那么他的失败从一开始就是不能避免的。据说，因为不能接受数学式物理的理想和未经检验的复合体之间的矛盾，以及他在《哲学原理》中构建的没有充分肯定的假设，笛卡尔固执地把他科学调查的结果写成错的。
接下来要讲另一个同样貌似真实的关于笛卡尔立场的解释。假设笛卡尔说他要提出一个他的物理学的数学证明，如果当他总结工作时宣布说他实现了他的目标，那么他所说的“数学证明”可能是一种包含在他最初计划和他后来所达到的成就之间的一种调查。为了调查这种可能性，必须更仔细地去研究笛卡尔的语言和他讨论证明或证据时的上下文环境。这种调查的两个关键术语，都用在上面第一个引证中，就是“证明”和“推理”。在下面的一、二两个章节，我从第一个沉思开始调查了笛卡尔对这两术语的可供选择的解释。有效的证据表明，在笛卡尔的语言中，这两个术语都没有比后来它们在哲学文学作品中获得的更精确的意义。在第三章节，我调查到笛卡尔假定纯粹的数学是所有调查的理想方法，这使人想到笛卡尔只是将物理学的分类看成是应用数学的一个分支。我推断对笛卡尔有关“推理”“证明”和“数学的”这些单词的使用，依据他所在时代的普通用法来理解是最好理解的。在《哲学原理》的文本中，“数学上的证明”只是一个清晰表达的、可以被合理地证明的论点。
I
笛卡尔使用的是和英语单词“说明”意思大致相同，含义却模糊的拉丁文“证明”和法语单词“证明”。“证明”更明确的意思取决于作者的注解，取决于对文本的细致考察或者法语版本和拉丁版本的比较。接下来的解释使用了这三种方法。
在《谈谈方法》的第六部分有一个著名的段落，在这个段落里，笛卡尔谈到通过从它们自身得到结论证明他的科学原理，反过来也一样（用他的科学原理证明它们自己的结论）。笛卡尔为此争论说这不是一个循环程序，因为：
经验使这些结果非常确定，使我推导出它们的原因并不足以证明或者解释它们；相反，结果证明了原因。
（AT VI，76）
这说明了尽管结果来自原因，但后者被前者证明。显然，同一时代的读者将笛卡尔的意思理解为原因解释了结果，结果肯定了（假设的）原因。方法论的澄清显然不能满足他的读者，于是在1638年7月13日，在他给莫林的信中他再一次回到了同样的问题上：“在证明和解释之间有很大的区别……人们可以用‘证明’这个单词来表示一个事物或另一个事物，至少当人们采用它的习惯用法时就可以这样表达。”
笛卡尔好像已经分清了解释和证实的论证之间的区别。这两个过程在这个方面是相似的，即假设一定的前提条件，通过笛卡尔所说的“推理”得到结果。这种推理的逻辑结构在下面有更详细的调查。对于笛卡尔来说，从原因到结果或者从结果到原因的论证都可以被叫作“证明”。
有很多个笛卡尔哲学的文本可以说明笛卡尔对“证明”这个单词的模糊不清的应用。“证实”通过“说明”这个单词往往被表达成“证明”的感觉。因此，在《灵魂的热情》中，他表明大脑可以在没有灵魂参与的情况下引起肌肉的反应，他是根据条件反射的经验“证明”这个假设的。相似的例子可以在《人体描述》和《哲学原理》中发现。这些证据都不能清楚地证明一个假设。我们所说的“证实”和拉丁词汇“证明”“证实”的等价词意思相近，这些在《哲学原理》《谈谈方法》和笛卡尔在解剖学上的笔记——“重要问题”——中都能找到。
在“说明”的使用过程中，这种表面的统一被其他例子复杂化了，在那些例子中，很难说清笛卡尔的意思是“确认”还是“解释”。在物理理论的发展中，笛卡尔在讨论中提到的和理论一致的现象尤其值得注意。只有在不明确的情况下，人们可以说这样一个理论解释了现象，或者对现象的观察确定了理论。看起来笛卡尔好像仅仅把一些观察结果的参照合并到了假设中，然后在回想中作为一个“证据”来用。比如，据说在《气象学》中，雨点的圆度得到了说明，在《哲学原理》的两个例子中，据说法文版本中的“被说明”最初是在拉丁文版本
里被提出的。
上面用到的任何“说明”都可以被“证明”替换。因此，在解剖学笔记的注解中，一个不同的证实论证（解释为什么我们的呼吸有时是温暖的）被证明者介绍，在物理学基本规则的讨论中有两处“证明”被翻译成法文词汇“知道真相”。在一些情况中拉丁文“证明”被法文“说明”替代。另一种证明，就是说，一种由推理形成的一些自然现象的解释，也在笛卡尔的文本中略微提到。比如，大家都知道《谈谈方法》中生理学的讨论缺乏“通过原因证明结果”的方法，笛卡尔写信给伯爵先生证明天堂里的美好生活与假想的不同。
因此，在谈到我们对“解释”和“确认”的区别时，笛卡尔显然有很多可选择的词汇，很明显，他用“证明”对这两个过程进行描述。这在它本身没有问题。当代读者关心的是所有这些证明在某种程度上都只是推理出来的或者数学上的。比如，笛卡尔在《哲学原理》中提到的，在假设的原因或原理中解释确定的结果，因此法文版本用的是“证明”，拉丁文版本用的是“推论”。从假设的原因中推出结果用到了很多参考：AT VIII，1，99（推论），同上，103（推导）。在那里人们希望发现“证明”可以表示“解释”，又可以表示“确定”，人们有时还会发现“推论”。比如，笛卡尔提到从结果中推出原因和从原因中推出结果时：“我们希望的是从原因推出结果的类型，而不是从结果推导出原因。”（ATVIII，1，81）如果解释和起证实作用的论据都采用推理的形式，那么任何对推理概念的澄清会相应地说明笛卡尔对物理理论的理解就像数学证明。因为这个目的，《指导心智的规则》就有了非常重要的价值。
II
在《指导心智的规则》中，笛卡尔将人类认识的来源归纳为经验和推理（AT X，364-365）。因为经验有时容易出错，科学知识也仅仅是从直觉和推理中获得（在这里直觉是经验的一种）：“通过我们大脑的活动，我们可以不用害怕犯错而得到很多知识，在这里被考虑到的只有直觉和推理是可以接受的。”（AT X，368；比较，372，400）与其无缘无故地将我们自己对推理的理解强加展示给笛卡尔，并排除在那种基础上对他所用的科学方法的各种争论，不如调查一些他在《指导心智的规则》中建议的科学程序并且解释那种情况下他对“推理”的运用。因为无论他提出什么作为他的科学方法的一部分，都不是直觉就是推理（或者是两者结合的某种东西）。
笛卡尔在《指导心智的规则》中对“推理”的运用有另一个谨慎的解释理由。第一卷被作者当作对他的方法的一般总结，作为结果的话就必定是模糊的。他打算将第一卷中的方法论原理运用到第二卷的特定数学问题上和第三卷中的物理问题上。因为笛卡尔并没有完成这个工作，所以人们只能从以前章节的暗示中推断出他本该在第三卷中完成的物理科学的推理。
这里的推理不同于三段论法中的推理。
人们可以按照惯例将笛卡尔的注解理解为笛卡尔的推理不受那些拘谨的逻辑学家们所遵守的推理模式的限制。对于笛卡尔，推理有两种形式，这两种形式可以通过相关的复杂性区分开。在它最简单的形式里，推理是一个被叫作直接推论或者洞悉两个命题真实价值之间的关系的例子。一旦涉及推理中的命题数量增加，那么从证据中得到结论的思维过程就会变得更复杂。因此，从一连串不连续的命题中得出“结论”的活动被笛卡尔称作归纳法或列举法（“我们给定或推导的一列名字”：AT X，408）。这是推理的第二种形式。从归纳法的说明中，很明显可以看出一些现象的科学解释正式地采用了笛卡尔归纳法的形式。
关于物理科学中列举法推理的运用，原计划是放在《指导心智的规则》第三卷中做更详细的讨论。
由于论据的缺乏，人们不能在笛卡尔现存的作品中看到例子。参考下面规则十二中的例子。如果有人想要解释磁力（“如果被问到磁力的本质是什么”：AT X，427），他应该对他的所谓推理的结论进行三个阶段的研究：
第一步：假设关于磁力我们所知道的都是从简单的性质里得到的，调查者首先应该收集我们从经验中得到的关于磁石的所有的有用信息。
第二步：接下来他将会“推理”出，简单性质的认识的组合足以产生凭经验知道的有关磁力的全部内容。“然后尝试从中得出。”如果文本中的“推理”可以被模糊地理解为对一个人选择的假设给出理由，那么笛卡尔所建议的推理就与他在《哲学原理》中对磁力的讨论相配了。
第三步：科学家们意识到如果笛卡尔完成了他的任务，那么在人们的理解范围内和有用的经验主义信息中，他就做了一切可能发现磁力本质的事情。
笛卡尔在规则十三中重新回到磁力的例子，用它说明了将不确定的问题简化为确定问题的可能性。在这个过程中同样需要经历三个阶段，从将我们所知道的关于磁力的一切作为吉尔伯特作品的结果，到我们知道磁力的最终解释受到了惯用的经验主义信息的限制。有用的观察结果的第一步调查包含了充分的列举。第二步同样是尝试从观察得到的有用论据中推断出磁力的本质。从归纳整理的论据中得出一个理论或解释的过程也可以说是从观察中得出真理。这个推理的明确本质被推迟到了第三卷中的进一步分析中。
关于笛卡尔的发现和解释逻辑的更详细的讨论，在规则八中他对光学问题的建议性方案中可以看到。对折射的探究方法是把对问题的分析带到促成解决方案（即合适的简单的性质）的因素中以及依据这些因素所得到的解决方案的解释中。推理在这里包括两步。调查者应该尝试从他对自然力量的理解中“推断”出照明度的解释。如果这个失败了，他应该列举他理解到的所有自然力量，那么照明度的本质至少会通过与其他自然力量的类比（“至少通过模仿”：AT X，395）被知道。这里提议的类推的论据和基于此的光的光学性能的证明，都是笛卡尔在《屈光学》中开始执行这个计划时提出异议的来源。
他在1638年5月回复麦尔赛纳时说：“我所说明的已经证明了关于折射的问题……仅仅依靠我的假设，我假设光是一种能力，或者一种力量（艺术品，潜力），它和局部的运动能力遵循一样的规则……”在这种情况下，一个从分析中得到的论据为基本原理提供了一个假设，以及来自所谓证明的解释。类比论证为假设提供了基础，由此产生的解释称为证明。
将《指导心智的规则》中的方法应用到物理中的例子表明，笛卡尔是以不同的方式使用“归纳法”（或“列举”）这个词汇的，每一处的使用都有重要意义。一个术语的用法接近归纳法的标准意思，归纳作为基于给定类的样本的概括。笛卡尔通过类比将这种用法扩展到了论证上。如果人们不能调查一种确定现象的代表性样本，他们可以调查一些类似的现象，同时得出关于这种类似情况的普遍规律。然后人们将归纳得到的结果应用到不能直接调查的那种现象上。
这是归纳和论证通过类比的结合，它仍然被笛卡尔叫作列举。最后，笛卡尔把所有涉及一连串推理阶段的推理论证都当作一种归纳法，因为这种想法必须把所有相关的证据排列在一起以便充分证明最后的结论。因为所有这些脑力过程必须符合经验或推理的种类之一，因此很明显，“推理”这个词汇涉及所有的推理过程，通过这个过程我们从那些可靠的证明结论的任何论据中验证可信度。这些论据的指导方向和复杂性解释了为什么各种过程，像归纳、参照、假设、推理、解释，以及模型或者类比中论证或者所有这些的混合过程，都可以被笛卡尔叫作推理。仍然存在的问题是：为什么这些论证被叫作数学上的证明？
III
据说，笛卡尔经常迷恋于数学推理的精确性，以致他尝试强迫物理进入纯粹数学的或者拘谨的证明限定中。笛卡尔的文本不能保证这种解释简单易懂。
首先，从笛卡尔开始他在物理上的研究，他很快就对纯粹的数学失去了兴趣。从1630年起，在他给别人的信件中他经常提到这种兴趣的丧失。他给麦尔赛纳的信中这样写道（1630年4月15日）：“我对数学感到非常厌烦，现在我很少想到关于数学的东西，以至我几乎不能不怕麻烦地自己去解决它们（问题）。”对数学的这种态度也出现在后来的信件中：“这些问题没有一点用”，“我尽可能地回避所有参与数学的机会”，“你知道，从我发誓无视几何学到现在，已经超过十五年了……”，“实话告诉你，我非常厌烦抽象数学，以至我再也不会从事它了”。
依据纯粹数学和应用数学之间的差别，《谈谈方法》反映出笛卡尔在抽象学科上的觉醒。
那时他的信件（比如，狄撒盖斯）表达出他对于内心变化的惊讶，笛卡尔回复他：
我只有决定放弃抽象数学……理由是那样我将会有更多时间去研究几何学的另一个类别，它涉及解释自然现象。因为如果他会考虑我所写的关于盐、雪和彩虹的东西，他将很快意识到我所有的物理只是几何学。
（AM II，362-363）
这里的最后一行在一定程度上是在尝试抚慰一个纠缠不休的通信者。就像是对纯粹数学和应用数学之间的准确差别的反思，后者包括音乐、天文学和光学。
笛卡尔提到两种几何学（除了数学上的），在那里，几何学被理解为“大体上说，就是教给我们所有物体的测量方法的科学”。换句话说，任何精确的科学都只是应用数学的一部分。
与笛卡尔对物理最初的兴趣一致，人们发现了一个清晰的事实，就是物理上的证明不能像纯粹的形式推理那样保证一个结论有真实的价值。在1638年笛卡尔给麦尔赛纳的信中他这样写道：
你问我是否声称关于折射我所写的是一个证明。我相信它是的，至少它可以在这个事上给出证明……还有一些其他的力学、光学、天文学和其他不纯粹的几何学或算术学问题，甚至已经被证明。但是期望依靠物理进行几何学上的证明，这对我来说是不可能的。
（AM II，266）
笛卡尔继续讲道，如果人们最初的假设和经验没有明显的矛盾，如果人们的论证不是无效的，那么物理科学中的证明就是令人满意的。
准确描述《哲学原理》中同样的方法论有很重要的意义，笛卡尔将这种程序上的逐渐推进称作数学上的推理。
这种物理学中证明的澄清与《指导心智的规则》中完美和不完美问题的区分一致。一个完美的问题是这样的，它的解决方案取决于已经被确知的东西，以这样一种前者“完全由后者决定”的方式进行。
这种类型的问题“大多是抽象的并且几乎仅仅出现在算术和几何学中”。由于物理学家在这种方式上的调查不是通常认可的那种，所以笛卡尔建议可以通过限定得出解决方案的信息，并有可能将模糊的问题转化为明确的（或者更容易处理的）状态。“一旦我们决定考虑关于磁石的这一种或那一种观察结果，忽视其他所有的结果就没有什么困难。”相关信息的选择是必要的，因为重视所有有用的证据是不可能的。
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结果是，无论如何我们在物理科学中仅仅能对问题提供一个暂定的答案。
因为笛卡尔把物理当作应用数学的一部分，所以对于这一学科，这种完美的证明模式可以被叫作数学上的证明。一旦人们清楚地认识到物理理论必要的假设特征在纯粹数学和应用数学的证明中暗含了不同的意义，那么这种命名就不会引起困惑。笛卡尔好像还没有意识到这一点。
IV
所谓笛卡尔的方法是一个对基本规则来说非常普通又必然模糊的解释，对任何系统的调查，不管是在形而上学、物理学还是数学上都是这样。清晰、独特的观点的理想是对无论什么学科、无论什么声明都要做出必要的区分并提供合适证据的一个比喻。应用到物理上时，这和要求根据有用证据的证实力量对一些解释和对有根据的解释进行一步步分析是等同的。对这种证据的理解，是以笛卡尔所说的直觉为前提条件的。一旦相关信息的个别术语被理解，剩下的任务就是发展一个可以解释任何给定现象的假设（或者找到一个原因）。
相关信息的整理、解释、测试，以及对解释的确定（或不确定），都需要科学家参与各种推理过程。笛卡尔在《指导心智的规则》和《谈谈方法》中清楚地建议实施这样的程序，他在科学的随笔中执行了这样的计划。因为这些复杂的推理过程没有一个可以被当作直觉，所以，它们应该被归为推理（依据《指导心智的规则》）。
《指导心智的规则》中推理概念的阐明和笛卡尔提到证明和推理的文本的多样性表明，“推理”这个词汇包含了广泛的推理程序，就像归纳法和通过类比进行的论证，形式学科中推理得到的推论，类似逻辑学或数学、假设—推理解释、二次推理得到的推论，或者任何结构和论据价值清晰的论证。“推理”涉及各种论证的逻辑结构。“推理”的结果是笛卡尔所说的证明，尽管“证明”也用在文本中表示“清晰地说明”的地方（比如，通过提供模糊的观察论据）。因此，科学证明小心地构建了服务于解释一个给出的现象和确认一个假设的解释似乎有理的论证（推理）。
期望笛卡尔的方法论在纯粹的形式证据和科学理论的逻辑之间有清晰的界线，这种想法是过时的。这种清晰的界线在17世纪无法实现。替代它的是物理科学的假设特征的浮现——一个笛卡尔贡献出的有意义的进展。结果发现笛卡尔对数学和物理证明之间区别的解释并不矛盾，同时作为数学证明适用于《哲学原理》的内容。在笛卡尔的科学中用到的词汇在将物理描述成应用数学的一个分支上反映了一段时期上的标准分类。当笛卡尔把他的科学解释叫作“数学上的推理”时，这可以理解为一个有合适论证和充足证据的物理理论。
